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费马跟梅森说：“我又发现一个有趣的东西？”

梅森习以为常的说：“我知道，你一直在发现很多东西。”

费马说：“我发现一个多边形数。”

梅森说：“那先解释什么是多边形数？”

费马说：“一个圆点只有一个点，所以多边形数为一。

一个三角形数需要在这个点外伸出两个点，所以为多边形数为3，如果再往外延伸，需要再加三个点，得到六个点，多边形数为六。”

一面说，费马一面画出三角形数的图形。

梅森说：“为什么是这样的？你规定了什么？”

费马说：“这个多边形为三角形的时候，点与点直接距离相等。”

梅森说：“然后为10，再然后为15等等。”

费马说：“正确。”

不一会儿两个人还是画出四边形、五边形、六边形的数分别都是：

四边形数为1、4、9、16、25等

五边形数为1、5、12、22、35等

六边形数为1、6、15、28、45等

梅森说：“你这样要做什么？”

费马说：“每一个正整数都可以表示为最多n个n边形数的和。

每一个正整数一定可以表示为不超过三个的三角形数之和、不超过四个的平方数之和、不超过五个的五边形数之和，依此类推。”

梅森说：“原来你还在研究平方数和的一些规律呀！”

费马说：“没错。”

梅森说：“你打个比方，我听听。”

费马说：“两个个三角形数的例子，例如171061，413。

一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为最多四个平方数之和，例如74111。”

梅森说：“你证明了吗？”

费马说：“证明的事情恐怕要交给后人了。”

拉格朗日在1770年证明了平方数的情况，高斯在1796年证明了三角形数的情况，但直到1813年，柯西才证明了一般的情况。