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1685年，沃利斯（Wallis）出版了《代数》（DeAlgebra），包含了牛顿二项式定理的最早描述。

它也使哈利奥特的卓越贡献为人所知。

二项式定理，是一个a加b的n次方的展开计算。

沃利斯对牛顿说：“你最近在研究什么？”

牛顿说：“二项式定理。”

沃利斯说：“巴斯卡三角，甚至古中国的杨辉三角而已，还有什么好研究？”

牛顿说：“没什么，仅仅是想前进一步。”

沃利斯笑说：“这些东西有用吗？”

牛顿笑着说：“我觉得有很多用，虽看朴素，但里面蕴藏着很多能量。”

沃利斯说：“比如说？”

牛顿说：“我在想开二次方可以计算，就是不断的将小数点后的数字，先写成5，大的让这个数变成4，小了让这个数变成6。

然后一直不断往后写，就可以慢慢的遍历出个无穷的样子。”

沃利斯说：“那又如何，不用二项式，我蒙着这样乘下去不就可以了？”

牛顿说：“开3次，还用这样的办法的话，就困难了，同时开3次以上的话，就更难了。”

沃利斯说：“继续说。”

牛顿说：“我想吧二项式中的n，从整数变成分数来计算。

也可以。”

沃利斯说：“如果是整数，可以有帕斯卡三角，或者是一种组合公式来表示系数。

分数的你该怎么办呢？”

牛顿说：“很容易，把那个组合公式中的n也变成对应的分数，甚至负数都可以。”

沃利斯抬头开始想牛顿说的这个组合公式的变化。

沃利斯开始去写1加x的负一次方的展开，写成了无穷的形式，等于1减去x的平方加x的二次方减x的三次，一直到无穷。

因为组合方程计算出来的是1和1这两个数字的交替。

x的奇数次方的系数是负一，x的偶数次方的系数是正一。

疑惑的说：“等等，变成负数我还可以想象，变成分数这还用意义吗？”

牛顿说：“为什么没有意义，也没有人规定一定是整数呀，你脑子太死板，不知道其中的奥秘，这里面有很多有趣的数学意义。”

沃利斯也开始尝试的开始写二分之一次方的组合方程，然后带入到1加x的二分之一次方，也写出了看着复杂一些的无穷的级数。

沃利斯看着这个花里胡哨的东西，对牛顿说：“这个东西有作用吗？看着花哨。”